Unidad 2 Expresiones Regulares

Unidad 2 - Expresiones Regulares.
2.1. Definición formal de una ER.



Es un equivalente algebraico para un autómata. Utilizado en muchos lugares como un lenguaje para describir patrones en texto que son sencillos pero muy útiles. Pueden definir exactamente los mismos lenguajes que los autómatas pueden describir: Lenguajes regulares.

Ofrecen algo que los autómatas no: Manera declarativa de expresar las cadenas que queremos aceptar.
Dado un alfabeto Σ, una , expresión regular sobre expresión regular sobre Σ se define de forma recursiva:
ER primitivas: Φ, λ, {a | a ЄЄЄ Σ Є}
Si α y β son ER, entonces son también ER: α + β (unión), α β (concatenación), α* (cierre), (α).
No existen otras reglas para la construcción de ER sobre Σ.
Ejemplos de usos.
Comandos de búsqueda, e.g., grep de UNIX.
sistema de formato de texto: Usan notación de tipo expresión regular para describir patrones.
Convierte la expresión regular a un DFA o un NFA y simula el autómata en el archivo de búsqueda.
Generadores de analizadores - Léxicos. Como Lex o Flex.
Los analizadores léxicos son parte de un compilador. Dividen el programa fuente en unidades lógicas (tokens) divide el programa fuente en unidades.
Produce un DFA que reconoce el token.
Las expresiones regulares denotan lenguajes.
Por ejemplo, la expresión regular: 01* + 10* denota todas las cadenas que son o un 0 seguido de cualquier cantidad 1's o un 1 seguida de cualquier cantidad de 0's.
Operaciones de los lenguajes:
Unión: Si L y M  son dos lenguajes, su unión se denota por L U M.
Concatenación: La concatenación es: LM o L.M.
Cerradura (o cerradura de Kleene): Si L es un lenguaje su cerradura se denota por L *.
Si E es una expresión regular, entonces L(E) denota el lenguaje que define E. Las expresiones se construyen de la manera siguiente:
Las contantes  y  son expresiones regulares que representan a los lenguajes L (Q) = {Q} y L (Φ) L = Φ respectivamente.
Si a es un símbolo, entonces es una expresión regular que representan al lenguaje: L (a) = {a}.


2.2. Operaciones
Unión o Alternativa: Consideremos dos lenguajes diferentes definidos sobre el mismo alfabeto L1 ⊂ W(∑) y L2 ⊂ W(∑). Se denomina unión de ambos lenguajes al lenguaje formado por las palabras de ambos lenguajes:
L1 U L2={ x | x ∈ L1 ó x ∈ L2}

Concatenación: Consideremos dos lenguajes definidos sobre el mismo alfabeto, L1 y L2. La concatenación o producto de estos lenguajes es el lenguaje L1 L2= { xy / x ∈ L1 y x ∈ L2} Las palabras de este lenguaje estarán formadas al concatenar cada una palabra del primero de los lenguajes con otra del segundo.
La concatenación de lenguajes con el lenguaje vació es ΦL = L Φ = Φ
Potencia de un lenguaje: Se define la potencia i-ésima de un lenguaje a la operación de concatenarlo consigo mismo i veces.
                                   Li= LLL ....L
                                   |------------|
                                   i
Clausura positiva de un lenguaje: Se define la clausura positiva de un lenguaje L:
                                   ∞
                                   L + = U L i
                                   i=1
Lenguaje obtenido uniendo el lenguaje con todas sus potencias posibles excepto Lº. Si L no contiene la palabra vacía, la clausura positiva tampoco
Cierre o Clausura de un lenguaje: Se define el cierre o clausura de un lenguaje L como :
                                   ∞
                                   L* = U Li
                                   i=0
Lenguaje obtenido uniendo el lenguaje con todas sus potencias posibles, incluso Lº. Todas las clausuras contienen la palabra vacía.
Existen tres operaciones básicas que se pueden realizar sobre las ER:

Selección de alternativas : Se indica con el operador |(barra vertical). Si r y s son ER, entonces r | s es una ER que define a cualquier cadena que concuerde con una r o una s, también se dice que r | s , es la unión de los lenguajes de r y s y lo podemos definir: L( r | s ) = L( r ) U L( s ). Esta operación se puede extender a más de dos ER.

Concatenación: Se indica con la yuxtaposición de las ER. Si r y s son ER, entonces rs es una ER que define a cualquier cadena que concuerde con la concatenación de r y s , esta operación la podemos definir: L(rs) = L(r)L(s).Esta operación se puede extender a más de dos ER.

Repetición o Cerradura: También se conoce con el nombre de cerradura de Kleene. Se indica con el operador *. Si r es una ER, entonces r* es una ER que define a las cadenas de caracteres representadas por la concatenación repetida de r en n veces, o sea que lo podemos definir como: L(r*) = L(r)*o también lo podemos definir como la unión infinita de conjuntos r :r* n = r 0 r 1 r 2...r n.

                                       2.3 Aplicaciones en problemas reales.
Una de las principales aplicaciones de los hermanos Deitel, son las expresiones regulares que facilitan la construcción de un compilador. A menudo se utiliza una expresión regular larga y compleja para validar la sintaxis de un programa. Si el código del programa no concuerda con la expresión regular, el compilador sabe que hay un error de sintaxis dentro del código.
Generalmente convierten la expresión regular a un autómata finito no determinista y después construyen el autómata finito determinista.
Otra aplicación del mismo libro es en los editores de texto. También encontramos a las expresiones regulares en la biología molecular. También hay esfuerzos importantes para tratar de representar cadenas como generadas por expresiones regulares o por lenguajes regulares.